6-1-1 — Форма та розміри ділянки

У цьому уроці ти:

• зрозумієш, що таке масштаб, і навчишся ним користуватися;
• створиш план ділянки в масштабі;
• навчишся обчислювати площу ділянки простої та складної форми.

📖 1. Від «1 клітинка = 1 м» до справжнього масштабу

У 5 класі ти малював плани на клітинках і домовлявся, що одна клітинка дорівнює одному метру. Це вже був масштаб, тільки дуже простий. Тепер ми розберемо його як слід, бо він потрібен усім, хто створює плани: архітекторам, геодезистам, будівельникам.

Проблема проста: ділянку 30 м × 20 м не намалюєш у натуральну величину, адже вона не вміститься в зошит. Доводиться зменшувати все в однакову кількість разів, щоб форма та пропорції лишилися правильними. Це й робить масштаб.

📖 2. Що таке масштаб

Масштаб — це число, яке показує, у скільки разів довжини на плані менші за довжини на місцевості.

Записують його так: 1 : 100. Це означає: 1 см на плані = 100 см на місцевості, тобто 1 м. Ще кажуть: «в 1 см — 1 м».

Зверни увагу на таку закономірність: що більше число після двокрапки, то дрібніший масштаб. На плані 1 : 500 поміститься більша територія, але деталі будуть малі. На плані 1 : 50 деталі добре видно, але територія займе багато місця.

📖 3. Рахуємо за масштабом

З плану — на місцевість. Довжину на плані множимо на число з масштабу.

Приклад. На плані 1 : 200 відрізок має довжину 8 см. На місцевості це 8 · 200 = 1600 см = 16 м.

З місцевості — на план. Довжину на місцевості ділимо на число з масштабу (спершу переведи її в сантиметри).

Приклад. Сторона ділянки 30 м = 3000 см. У масштабі 1 : 200 на плані вона буде 3000 : 200 = 15 см.

Як вибрати масштаб

Зазвичай ділянку креслять на аркуші формату А4 (21 см × 29,7 см). З урахуванням полів вільного місця близько 25 см × 17 см. Щоб підібрати масштаб:

1. Знайди найбільший розмір ділянки в сантиметрах.
2. Поділи його на доступну довжину аркуша (наприклад, 25 см).
3. Округли результат вгору до «зручного» масштабу (1 : 100, 1 : 200, 1 : 500).

Приклад. Ділянка 50 м × 30 м. Найбільший розмір — 50 м = 5000 см. 5000 : 25 = 200. Підходить масштаб 1 : 200. На плані ділянка матиме розмір 25 см × 15 см.

📖 4. Лінійний масштаб

Поруч із числовим масштабом часто малюють лінійний масштаб — невелику лінійку, на якій одразу підписані реальні відстані. Наприклад, для масштабу 1 : 200 відрізок довжиною 5 см означає 10 м. Його ділять на частини й підписують: 0, 2, 4, 6, 8, 10 м.

Лінійний масштаб має велику перевагу: якщо план збільшити чи зменшити на копіювальному апараті, числовий масштаб «збреше», а лінійний зміниться разом із планом і лишиться правильним.

📖 5. Як накреслити план у масштабі

1. Підготуй чернетку з розмірами всіх сторін (із 5 класу) і вибери масштаб.
2. Переведи розміри в сантиметри на плані за правилом з розділу 3. Запиши їх на чернетці червоним.
3. Проведи тонкими лініями основу: одну з довгих сторін (наприклад, фасадну).
4. Для прямокутної ділянки використай косинець або кут аркуша й відкладай прямі кути.
5. Для ділянки неправильної форми розбий її діагоналлю на два трикутники. Спочатку накресли сторону, а потім із двох її кінців проведи циркулем дуги з радіусами, що дорівнюють двом іншим сторонам трикутника. Точка перетину дуг і є третьою вершиною.
6. Обведи контур, додай стрілку «Пн», лінійний масштаб та запис «М 1 : 200».
7. Перевір: виміряй лінійкою діагоналі на плані й перетвори в метри. Чи збігається з вимірюваннями на місцевості?

📖 6. Площа ділянки

Периметр відповідає на запитання «скільки паркану?». А площа — на запитання «скільки місця?». Площа показує, скільки поверхні займає фігура.

Одиниці площі:

• 1 м² — квадрат зі стороною 1 м;
• 1 а (ар, або «сотка») — квадрат 10 м × 10 м = 100 м²;
• 1 га (гектар) — квадрат 100 м × 100 м = 10 000 м² = 100 соток;
• 1 км² = 1 000 000 м².

Площа прямокутника: S = a · b (довжина помножена на ширину).

Приклад. Ділянка 30 м × 20 м: S = 30 · 20 = 600 м² = 6 соток.

📖 7. Площа складної ділянки

Для складної форми працює вже знайомий прийом: розбити на прості фігури.

Приклад 1. Г-подібна ділянка (та сама, що в 5 класі: сторони 30, 15, 15, 20, 15, 35 м). Її можна розділити на два прямокутники: нижній 30 м × 15 м та верхній 15 м × 20 м.

S = 30 · 15 + 15 · 20 = 450 + 300 = 750 м² = 7,5 сотки.

Перевір іншим способом: найменший прямокутник, що охоплює «Г», має площу 30 · 35 = 1050 м². Вирізана частина — 15 · 20 = 300 м². Тоді 1050 − 300 = 750 м² ✔.

Приклад 2. Трапеція. Основи 30 м і 20 м, висота 15 м. Розріжемо: прямокутник 20 × 15 = 300 м² та прямокутний трикутник із катетами 10 м і 15 м. Прямокутний трикутник — це половина прямокутника 10 × 15 = 150 м², тобто 75 м².

S = 300 + 75 = 375 м².

📖 8. Площа неправильної фігури: палетка

А що робити, якщо одна межа — звивиста (наприклад, берег струмка)? Допоможе палетка — прозора сітка з квадратиків, яку кладуть на план.

1. Накреслений у масштабі план накрий прозорою сіткою зі стороною клітинки 1 см (можна намалювати на кальці чи прозорому файлі).
2. Порахуй клітинки, які повністю лежать усередині ділянки.
3. Порахуй клітинки, які частково потрапили на ділянку. Половину від їх кількості додай до цілих.
4. Дізнайся площу однієї клітинки в реальності. У масштабі 1 : 200 одна клітинка 1 см × 1 см відповідає 2 м × 2 м = 4 м².

Приклад. Цілих клітинок 62, неповних 20. Вважаємо: 62 + 20 : 2 = 72 клітинки. Площа: 72 · 4 = 288 м². Результат приблизний, але для планування цілком достатній.

📖 9. Важлива пастка: масштаб і площа

Довжини зменшуються в 200 разів, а от площі зменшуються у 200 · 200 = 40 000 разів. Тому на плані 1 : 200 квадрат 1 см × 1 см — це 4 м², а не 200 м². Запам’ятай таблицю:

🧪 Спробуй сам

1. Перерахунки. Масштаб 1 : 500. На плані відрізок 6 см. Скільки це на місцевості? А скільки сантиметрів на плані дорівнюють 40 м?
2. Вибір масштабу. Ділянка 45 м × 28 м. Який масштаб обрати для аркуша А4? Які розміри матиме план?
3. Площа. Знайди площу ділянки 24 м × 35 м у м² і сотках.
4. Складна фігура. Ділянка має форму Г: сторони 20, 10, 10, 15, 10, 25 м (із 5 класу). Обчисли площу.
5. Палетка. Накресли на кальці власну ділянку з масштабною сіткою і порахуй площу обома способами (за формулою й за палеткою). Яка різниця?

Відповіді: 1) 6 · 500 = 3000 см = 30 м; 40 м = 4000 см, 4000 : 500 = 8 см. 2) 4500 : 25 = 180, беремо 1 : 200; план 22,5 см × 14 см. 3) 24 · 35 = 840 м² = 8,4 сотки. 4) Нижній прямокутник 20 · 10 = 200 м², верхній 10 · 15 = 150 м², разом 350 м²; перевірка: 20 · 25 − 10 · 15 = 500 − 150 = 350 м² ✔.

🔑 Ключові слова

• Масштаб — відношення довжин на плані до довжин на місцевості.
• Лінійний масштаб — зображення масштабу у вигляді підписаної лінійки.
• Площа — розмір поверхні, яку займає фігура.
• Сотка (ар) — 100 м².
• Палетка — прозора сітка для вимірювання площі неправильних фігур.

✅ Перевір себе

1. Що означає запис «1 : 200»?
2. Який масштаб крупніший: 1 : 100 чи 1 : 500? Чому?
3. Як обчислити реальну довжину за довжиною на плані?
4. Скільки квадратних метрів у сотці? У гектарі?
5. Як знайти площу складної ділянки?
6. Чому 1 см² на плані 1 : 200 дорівнює не 200, а 4 м²?

📌 Коротко запам’ятай

Масштаб дозволяє зменшувати ділянку на плані без спотворення форми. Реальні довжини знаходять множенням, довжини на плані — діленням на число з масштабу. Площа показує, скільки місця є на ділянці: S = a · b для прямокутника, а складні фігури розбивають на прості або вимірюють палеткою. Площі змінюються не в стільки разів, як довжини, а в квадрат цього числа.