9-1-5 — Площі та об’єми ділянки
У цьому уроці ти:
- навчишся обчислювати площі за координатами й складеш баланс площ ділянки;
- розрахуєш об’єми земляних робіт, бетону та води;
- побудуєш баланс ґрунту й перевіриш його на помилки та чутливість;
- складеш відомості площ та обсягів для кошторису.
📖 1. Навіщо рахувати все точно
Кожне число у проєкті відповідає на практичне запитання:
- площі — чи вміщається забудова в ліміт, скільки потрібно покриття, огорожі, посівів;
- об’єми — скільки землі викопати чи привезти, скільки бетону замовити, скільки води потрібно відвести;
- кошторис — усе це множиться на ціни (урок 9-1-7).
Тому розрахунки мусять бути прозорими. Для кожного числа записуй: формулу → підстановку → результат з одиницями → перевірку (чи правильний порядок величини). Результат без шляху до нього — не результат, а здогад.
📖 2. Площі
Способи обчислення
- Формули простих фігур (прямокутник, трикутник, трапеція).
- Розбиття складної фігури на прості (ти це робив у 6 класі).
- Площа за координатами (формула «шнурівки»): точний спосіб для будь-якого багатокутника.
- Палетка — для фігур із кривою межею.
Площа за координатами
Для багатокутника з вершинами (x₁; y₁), (x₂; y₂), …, (xₙ; yₙ), записаних за годинниковою стрілкою:
S = ½ · | Σ (xᵢ · yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁ · yᵢ) |,
де після останньої вершини береться знову перша.
Приклад. Г-подібна ділянка (7-1-3): (0; 0), (30; 0), (30; 15), (15; 15), (15; 35), (0; 35).
| Пара вершин | xᵢ · yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁ · yᵢ |
|---|---|
| 1 → 2 | 0 · 0 − 30 · 0 = 0 |
| 2 → 3 | 30 · 15 − 30 · 0 = 450 |
| 3 → 4 | 30 · 15 − 15 · 15 = 225 |
| 4 → 5 | 15 · 35 − 15 · 15 = 300 |
| 5 → 6 | 15 · 35 − 0 · 35 = 525 |
| 6 → 1 | 0 · 0 − 0 · 35 = 0 |
| Сума | 1500 |
S = ½ · 1500 = 750 м² ✔ (збігається з результатом розбиття з 6 класу). Два різних способи дали однаковий результат: це й є перевірка.
Баланс площ ділянки М
| Складова | Площа, м² | Частка, % |
|---|---|---|
| Будинок | 80 | 8,0 |
| Гараж 3 × 6 | 18 | 1,8 |
| Сарай 3 × 4 | 12 | 1,2 |
| Теплиця 3 × 6 | 18 | 1,8 |
| Альтанка 4 × 4 | 16 | 1,6 |
| Забудова | 144 | 14,4 |
| Проїзд і парковка (3 × 14) | 42 | 4,2 |
| Тераса (4 × 3) | 12 | 1,2 |
| Стежки (≈ 45 м × 1,2 м) | 54 | 5,4 |
| Тверді покриття | 108 | 10,8 |
| Озеленення (газон, сад, город, дощовий сад) | 748 | 74,8 |
| Разом | 1000 | 100 |
Із цієї таблиці виводять показники:
- коефіцієнт забудови = 144 : 1000 = 0,144 (14,4 %), вимога ≤ 30 % ✔;
- забудова разом із твердими покриттями = 252 : 1000 = 25,2 %;
- озеленення = 74,8 %, вимога ≥ 60 % ✔.
Обов’язкова перевірка: сума складових = площа ділянки. Якщо сума не збігається, десь помилка.
Площа даху
Дах із нахилом 35° має поверхню більшу за свою горизонтальну проєкцію: S_даху = S_проєкції : cos 35°. Для проєкції 99 м² (із звисами) це 99 : 0,819 ≈ 121 м². Саме таку площу потрібно покрити матеріалом, а не 99 м².
📖 3. Об’єми
Земляні роботи та конструкції (варіант Б)
| № | Позиція | Розрахунок | Об’єм |
|---|---|---|---|
| 1 | Траншея під фундамент | 46 м · 0,7 м · 1,2 м | 38,6 м³ |
| 2 | Піщана подушка | 46 м · 0,7 м · 0,3 м | 9,7 м³ |
| 3 | Бетон стрічки | 46 м · 0,5 м · 0,9 м | 20,7 м³ |
| 4 | Зворотна засипка траншеї | 38,6 − 9,7 − 20,7 | 8,3 м³ |
| 5 | Насип майданчика під будинок | 120 м² · 0,205 м | 24,6 м³ |
| 6 | Перехоплювальна канава | 20 м · 0,135 м² | 2,7 м³ |
| 7 | Траншеї мереж (вода 12 м · 0,5 · 1,4; кабель 11 м · 0,5 · 0,7; каналізація 7 м · 0,5 · 1,0) | 8,4 + 3,85 + 3,5 | 15,7 м³ |
| 8 | Родючий шар зі споруд: (120 + 42) м² · 0,25 м | 40,5 м³ |
Для робіт, що пов’язані з бетоном, важливо знати, скільки його замовляти. Автобетонозмішувач вміщує орієнтовно 6–8 м³, тож 20,7 м³ — це близько 3–4 машин. Таку «побутову» перевірку порядку величин слід робити завжди.
Баланс ґрунту
Ґрунт, який викопали, можна використати на місці. Складемо баланс (для простоти — за об’ємом «у масиві», без урахування розпушення):
- Викопано з траншеї: 38,6 м³.
- Повернено в траншею (зворотна засипка): 8,3 м³.
- Лишок після фундаменту: 38,6 − 8,3 = 30,3 м³.
- Потрібно на насип майданчика: 24,6 м³.
- Залишок: 30,3 − 24,6 = 5,7 м³.
- Додаємо ґрунт із канави (2,7 м³): 8,4 м³ лишку, який використаємо для планування саду або вивеземо.
Баланс майже ідеальний: із 82 м³ переміщеного ґрунту «зайвими» лишилося близько 8 м³ (≈ 10 %). Це дуже добрий результат: нічого не треба привозити, а вивозити мало. Родючий шар (40,5 м³) зберігаємо окремо й використовуємо для озеленення, не змішуючи з іншим ґрунтом.
Про розпушення. Викопаний ґрунт збільшується в об’ємі приблизно на 20 %, а потім ущільнюється. У реальних розрахунках це враховують коефіцієнтами. Ми для навчання користуємося спрощеним балансом, але знаємо про це обмеження.
Об’єм води
Із попереднього розрахунку: середній коефіцієнт стоку ψ = 330,8 : 1000 ≈ 0,33; за зливи 30 мм стік з усієї ділянки: V = 330,8 · 30 ≈ 9,9 м³. З покрівель усіх споруд: 144 · 0,95 · 30 ≈ 4,1 м³; цю воду приймає дощовий сад (15 м², чаша завглибшки 0,3 м, 4,5 м³).
Об’єм будинку
Будівельний об’єм (використовують для оцінок, наприклад, теплових розрахунків): V = S_забудови · h_середня. Середня висота: стіна 5,5 м + половина висоти даху 2,8 : 2 = 1,4 м, тобто 6,9 м. V = 80 · 6,9 = 552 м³.
📖 4. Точність, запас і чутливість
Правила округлення. Об’єми матеріалів округлюють угору й додають запас 5–10 % (втрати, нерівності). Площі — до 0,1 м², відсотки — до 0,1 %.
Чутливість: наскільки зміниться результат, якщо вхідні дані трохи відрізняються? Приклад: ширина стрічки b = 0,5 ± 0,05 м.
- При b = 0,55 м: V_бетону = 46 · 0,55 · 0,9 = 22,8 м³ (+2,1).
- При b = 0,45 м: V = 18,6 м³ (−2,1).
Помилка 10 % у ширині дає помилку 10 % в об’ємі бетону, тобто ±2 м³ (3 машини перетворюються на 3 і ще чверть). Тому розміри на місцевості потрібно контролювати при розбивці.
📖 5. Відомості обсягів для кошторису
Усі розрахунки зводяться в одну таблицю, яка й стане основою кошторису в уроці 9-1-7:
| № | Робота або матеріал | Обсяг | Одиниця |
|---|---|---|---|
| 1 | Зняття й складування родючого шару | 40,5 | м³ |
| 2 | Земляні роботи (траншеї, насип, канава) | 81,7 | м³ |
| 3 | Піщана подушка | 9,7 | м³ |
| 4 | Бетон фундаменту | 20,7 | м³ |
| 5 | Арматура (80 кг/м³ бетону) | 1656 | кг |
| 6 | Водопровід | 12 | м |
| 7 | Електричний кабель | 11 | м |
| 8 | Каналізація (труба) | 7 | м |
| 9 | Септик | 1 | комплект |
| 10 | Проїзд і парковка | 42 | м² |
| 11 | Стежки | 54 | м² |
| 12 | Тераса | 12 | м² |
| 13 | Огорожа (130 м периметра − 4 м брама) | 126 | м |
| 14 | Будинок (загальна площа) | 160 | м² |
🧪 Спробуй сам
- Площа за координатами. Знайди площу ділянки з вершинами (0; 0), (24; 0), (24; 10), (12; 10), (12; 28), (0; 28). Порівняй із результатом з 7-1-3.
- Показники. Ділянка 800 м²: забудова 120 м², тверді покриття 200 м². Обчисли коефіцієнти й перевір вимоги (забудова ≤ 30 %, озеленення ≥ 60 %).
- Траншея. Фундамент: L = 50 м, ширина траншеї 0,6 м, глибина 1,3 м. Об’єм?
- Баланс ґрунту. Викопано 45 м³, повернено в траншеї 10 м³, на насип потрібно 40 м³. Що виходить: лишок чи нестача?
- Чутливість. Бетон: L = 46 м, h = 0,9 м, b = 0,5 ± 0,05 м. На скільки відсотків може змінитися об’єм бетону? Скільки це в автобетонозмішувачах (по 7 м³)?
- Дах. Горизонтальна проєкція даху 120 м², кут 30°. Площа поверхні?
Відповіді: 1) Сума xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ = 0 + 240 + 120 + 216 + 336 + 0 = 912; S = 456 м² ✔ (збігається). 2) 120 : 800 = 15 %; озеленення (800 − 120 − 200) : 800 = 60 % — на межі вимоги ✔. 3) 50 · 0,6 · 1,3 = 39 м³. 4) 45 − 10 = 35 м³, а потрібно 40: нестача 5 м³. 5) ±10 %, тобто ± 2,07 м³ ≈ 0,3 машини. 6) 120 : cos 30° = 120 : 0,866 ≈ 138,6 м².
🔑 Ключові слова
- Формула шнурівки — спосіб знаходження площі багатокутника за координатами.
- Коефіцієнт забудови — частка площі ділянки, зайнята будівлями.
- Баланс ґрунту — співвідношення викопаного й потрібного ґрунту.
- Розпушення ґрунту — збільшення об’єму ґрунту після викопування.
- Чутливість — залежність результату від зміни вхідних даних.
- Відомість обсягів — таблиця робіт і матеріалів з кількостями.
✅ Перевір себе
- Як знайти площу багатокутника за його координатами?
- Як перевірити, що баланс площ ділянки складено правильно?
- Чим відрізняється площа даху від його горизонтальної проєкції?
- Як складають баланс ґрунту й навіщо?
- Для чого округлюють об’єми угору й додають запас?
- Що таке чутливість розрахунку і як її оцінюють?
📌 Коротко запам’ятай
Кожне число в проєкті має бути обчислено прозоро: формула, підстановка, результат, перевірка. Площі рахують різними способами й порівнюють результати, а баланс площ має давати 100 %. Об’єми землі, бетону й води зводять у відомості, ґрунт — у баланс, а чутливість показує, які розміри найважливіше контролювати на будівництві.